По-хорошему, там код дается, но видео, если Вы не автор:), будет проигрываться только с ютуба. Либо записать его SnagIt'ом (скриншот видео с экрана), а затем на свой сайт залить, обработав слегка в каком-нибудь видеоредакторе или в Camtasia Studio. Как-то так.

Все, что вы загружаете на youtube - это все принадлежит исключительно самому youtube. То есть этот встроенный проигрыватель и показывает принадлежность к сайту. Если вы хотите поставить видео в своем плеере на сайте, то сделайте проще! Если вы владелец этого видеоролика, то просто залейте его на свой сайт и запустите с помощью своего проигрывателя. В youtube укажите, что являетесь автором и данный видеоролик также используется на другой платформе.

В принципе, это совсем не сложно. Для этого нужно выполнить два простых шага: 1) Внизу, под видео, нужно нажать кнопку «Поделиться». В строке ниже выпадет код. 2) Скопировать код и вставить его на свой сайт. Таким образом видео будет проигрываться на вашем сайте, но с ютуба. Как бы сайт на сайте.