Какие из следующих утверждений верны? 1) около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности. 2) центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника. 3) центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей. 4) около любого ромба можно описать окружность.
2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника - верно.
Это - прямоугольный треугольник (египетский), а в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей - верно.
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит расстояния от точки пересечения диагоналей до вершин одинаковы.
4) Около любого ромба можно описать окружность - неверно.
Около четырехугольника можно описать окружность в том случае, если сумма противолежащих углов 180°. А в ромбе в общем случае, это условие не выполняется, а если выполняется, то этот ромб - квадрат.
Теперь давай разберем каждое утверждение по отдельности и проверим, какие из них верны.
1) Утверждение "около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности" - это неверное утверждение. Поясню, почему.
Давай рассмотрим правильный треугольник. У правильного треугольника все стороны и углы равны. Если мы проведем окружность, которая проходит через вершины треугольника, то окажется, что центр этой окружности будет точкой пересечения медиан треугольника, то есть это будет точка, в которой пересекаются середины сторон треугольника. Убедись в этом, нарисовав равносторонний треугольник.
Значит, у каждого правильного треугольника можно описать окружность.
Если у вас есть какой-то другой правильный многоугольник, попробуйте нарисовать его и понять, можно ли описать вокруг него окружность.
2) Утверждение "центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника" - это неверное утверждение. Поясню, почему.
Это утверждение требует от нас научиться решать задачи типа "найти длину стороны треугольника по известным длинам других сторон". Это можно сделать с помощью теоремы Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Можем проверить, является ли данный треугольник прямоугольным, так как 3, 4 и 5 - это прямоугольная тройка. Подставим значения в теорему Пифагора:
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, а 5^2 = 25.
Как видишь, для данного треугольника теорема Пифагора выполняется, поэтому данный треугольник является прямоугольным.
Теперь давай посмотрим, где находится центр окружности, описанной около этого треугольника. По определению, центр описанной окружности является точкой пересечения перпендикуляров, взятых посередине каждой стороны треугольника.
Так как данный треугольник является прямоугольным, значит, перпендикуляр, взятый посередине гипотенузы, будет проходить через вершину прямого угла. Значит, центр окружности будет находиться на стороне, равной 5, а не внутри треугольника. Наблюдение и постановка экспериментов в этой задаче помогают ученикам визуализировать, что происходит.
3) Утверждение "центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей" - это верное утверждение. Поясню, почему.
Каждая диагональ квадрата является радиусом вписанной окружности. Если мы проведем две диагонали квадрата, они пересекутся в его центре и будут радиусами вписанной в этот квадрат окружности. Таким образом, центром окружности, описанной около квадрата, будет точка пересечения его диагоналей.
4) Утверждение "около любого ромба можно описать окружность" - это верное утверждение. Поясню, почему.
Для доказательства этого утверждения, нам понадобится знание о свойствах ромба. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны. Также известно, что у ромба все углы равны.
Если мы проведем прямые, соединяющие вершины ромба с его центром, то эти прямые будут радиусами описанной окружности, так как они равны между собой и перпендикулярны сторонам ромба. Поэтому около любого ромба можно описать окружность.
Таким образом, правильные ответы на данный вопрос такие:
1) неверно,
2) неверно,
3) верно,
4) верно.
Надеюсь, я смог вам разъяснить каждое утверждение и почему оно верно или неверно. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!