Вправильной четырехугольной пирамиде мавсд боковое ребро равно 5 и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов. наити площадь боковой поверхности пирамиды.
Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат ABCD, и высота, опущенная из точки M, будет падать в точку пересечения диагоналей квадрата в основании. Точку пересечения диагоналей обозначим H.
В прямоугольном треугольнике MHA:
<MAH = 60° (т.к. AH - проекция AM)
AM = 5
cos<MAH = AH/AM
cos60° = AH/5
AH = 5/2 = 2,5
AH - половина диагонали AC
AC = 2AH = 5
Из прямоугольного треугольника ACD (AD = DC = x, так как ABCD - квадрат), по теореме Пифагора:
AD² + DC² = AC²
x² + x² = 25
2x² = 25
x = 5/√2 = (5√2)/2
AD = DC = (5√2)/2
Sбок будет равно Pосн умноженное на апофему.
Проведем апофему MH1 в треугольнике MDC.
Т.к. пирамида правильная, треугольник MDC - равнобедренный, а значит высота MH1 так же является и медианой => DH1 = DC/2 = (5√2)/4
Из прямоугольного треугольника MHD по теореме Пифагора:
проведём диагонали основания и высоту. Она упадёт на точку пересечения диагоналей(О), так как пирамида правильная! в прямоугольном треугольнике МАО у нас есть острый угол и гипотинуза!
АО=2,5 - напротив угла в 30 значит, АС=5
АС^2=AD^2+DC^2
25=2*DC^2
DC=sqrt25/2
Sосн= sqrt25/2 ^2=25/2
MO=h=5sin60=5*sqrt3/2
V=одна третья произведения площади основания на высоту=125*sqrt3/12
Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат ABCD, и высота, опущенная из точки M, будет падать в точку пересечения диагоналей квадрата в основании. Точку пересечения диагоналей обозначим H.
В прямоугольном треугольнике MHA:
<MAH = 60° (т.к. AH - проекция AM)
AM = 5
cos<MAH = AH/AM
cos60° = AH/5
AH = 5/2 = 2,5
AH - половина диагонали AC
AC = 2AH = 5
Из прямоугольного треугольника ACD (AD = DC = x, так как ABCD - квадрат), по теореме Пифагора:
AD² + DC² = AC²
x² + x² = 25
2x² = 25
x = 5/√2 = (5√2)/2
AD = DC = (5√2)/2
Sбок будет равно Pосн умноженное на апофему.
Проведем апофему MH1 в треугольнике MDC.
Т.к. пирамида правильная, треугольник MDC - равнобедренный, а значит высота MH1 так же является и медианой => DH1 = DC/2 = (5√2)/4
Из прямоугольного треугольника MHD по теореме Пифагора:
MH1² = MD² - DH1²
MH1² = 25 - 25/16
MH1² = 15*25/16
MH1 = (5√15)/4
Sбок = Pосн*MH1
Pосн = 4*AD = 10√2
Sбок = (10√2)*(5√15)/4 = (25√30)/2 = 12,5√30
ответ: 12,5√30
проведём диагонали основания и высоту. Она упадёт на точку пересечения диагоналей(О), так как пирамида правильная! в прямоугольном треугольнике МАО у нас есть острый угол и гипотинуза!
АО=2,5 - напротив угла в 30 значит, АС=5
АС^2=AD^2+DC^2
25=2*DC^2
DC=sqrt25/2
Sосн= sqrt25/2 ^2=25/2
MO=h=5sin60=5*sqrt3/2
V=одна третья произведения площади основания на высоту=125*sqrt3/12