1-шаг. Произведение цифр четырёхзначного числа abcd (a, b, c и d цифры) больше 50 и меньше 55. то есть 51 ≤ a·b·c·d ≤ 54. Тогда все цифры числа положительные.
По условию число кратное 12=3·4. Так как 3 и 4 взаимно простые числа, то четырёхзначное число abcd должна делится на 3 и 4.
2-шаг. Признак делимости на 4: число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
Так как все цифры четырёхзначного числа положительные, то остаётся: число делится на 4, если две последние его цифры образуют число, делящееся на 4. В нашем случае две последние цифры: c и d, c>0 и d>0. Перечислим варианты двузначного числа cd:
3-шаг. По условию 51 ≤ a·b·c·d ≤ 54. Отметим, что так как a·b натуральное число, то двойное неравенство
51/(c·d) ≤ a·b ≤ 54/(c·d)
должен содержат натуральное число! Поэтому среди чисел 51, 52, 53 и 54 хотя бы один должен делится на произведение c·d. Разложим числа :
51 = 1·3·17
52 = 2·2·13
53 - простое число, нет множителей
54 = 2·3·3·3
Теперь проверим произведения цифр чисел:
12 --> 1·2=2 подходит, 16 --> 1·6=6 подходит, 24 --> 2·4=8 не подходит, 28 --> 2·8=16 не подходит, 32 --> 3·2=6 подходит, 36 --> 3·6=18 подходит, 44 --> 4·4=16 не подходит, 48 --> 4·8=32 не подходит, 52 --> 5·2=10 не подходит, 56 --> 5·6=30 не подходит, 64 --> 6·4=24 не подходит, 68 --> 6·8=48 не подходит, 72 --> 7·2=14 не подходит, 76 --> 7·6=42 не подходит, 84 --> 8·4=32 не подходит, 88 --> 8·8=64 не подходит, 92 --> 9·2=18 подходит, 96 --> 9·6=54 подходит.
4-шаг. Признаки делимости на 3: На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
По этому признаку число a+b+c+d должен делится на 3. В зависимости цифр c и d, учитывая a>0 и b>0, перебираем оставшиеся варианты:
12, 16, 32, 36, 92, 96.
1) cd=12, то a+b+1+2 = a+b+3. Число 3 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·1·2 ≤ 54 или 25,5 ≤ a·b ≤ 27. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 3 и 9. Их сумма 3+9=12 делится на 3.
Получим варианты: 3912, 9312.
2) cd=16, то a+b+1+6 = a+b+7. Число 7 при делении на 3 даёт остаток 1, поэтому a+b+1 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·1·6 ≤ 54 или 8,5 ≤ a·b ≤ 9. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 9, 3 и 3. Но сумма 1+9+1=11 не делится на 3 и сумма 3+3+1=7 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.
3) cd=32, то a+b+3+2 = a+b+5. Число 5 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому a+b+2 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·3·2 ≤ 54 или 8,5 ≤ a·b ≤ 9. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 9, 3 и 3. Сумма 1+9+2=12 делится на 3, но сумма 3+3+2=8 не делится на 3.
Получим варианты: 1932, 9132.
4) cd=36, то a+b+3+6 = a+b+9. Число 9 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·3·6 ≤ 54 или 2,8(3) ≤ a·b ≤ 3. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 3. Но их сумма 1+3=4 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.
5) cd=92, то a+b+9+2 = a+b+11. Число 11 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому a+b+2 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·9·2 ≤ 54 или 2,8(3) ≤ a·b ≤ 3. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 3. Сумма 1+3+2=6 делится на 3.
Получим варианты: 1392, 3192.
6) cd=96, то a+b+3+6 = a+b+15. Число 15 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·9·6 ≤ 54 или 0,9(4) ≤ a·b ≤ 1. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 1. Но их сумма 1+1=2 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.
Если число делится на 12, то оно делится и на 3, и на 4.
Следовательно, можно сделать первый вывод – это число чётное.
По условию произведение цифр числа больше 25, но меньше 30. Между 25 и 30 два чётных числа – 26 и 28. Поэтому произведение цифр может быть равно 26 или 28.
Разложим на множители:
26 = 2∙13.
Тогда одним из множителей произведения цифр четырёхзначного числа должно быть число 13, но наибольшая цифра – 9, поэтому 26 не может быть произведением цифр числа.
Вывод: произведение цифр данного числа равно 28.
Разложим 28 на множители:
28 = 4∙7 = 2∙2∙7
Число четырёхзначное, множителей должно быть четыре:
1∙1∙4∙7
1∙2∙2∙7
Так как данное число делится на 3, то сумма цифр должна делиться на 3:
1 + 1 + 4 + 7 = 13 – не делится на 3.
1 + 2 + 2 + 7 = 12 – делится на 3.
Определили все цифры. Это 1; 2; 2; 7.
Данное число должно делиться на 4, по признаку делимости на 4 оно должно оканчиваться двумя цифрами, которые образуют число, делящееся на 4. Значит, последние две цифры 12 или 72.
Признаки делимости на 12: 1. число - четное; 2. сумма цифр делится на 3; 3. число, которое образуют последние 2 цифры, делится на 4. Обозначим искомое четырехзначное число буквами abcd, a≥1 d - четная цифра a+b+c+d=3n - делится на 3 10с+d=4m - двузначное число, образованное 2-мя последними цифрами, делится на 4. По условию: 25<a*b*c*d<30, значит это могут быть только четные числа 26 и 28. Делители 26: 1; 13; 26 - не подходит. Делители 28: 1; 2; 4; 7; 14; 28 - подходит, 28=7*2*2*1=7*4*1*1 7+2+2+1=12 =3*4 - подходит 7+4+1+1=13 - не делится на 3 - не подходит. Значит искомое число состоит из цифр 7;2;2;1. d=2 c=7 или =1, т.к. 10c+d=4m =>72/4=18; 12/4=3 Если с=7, то b=2 или =1; если с=1, то b=7 или =2, по тому же принципу, а=1 или =2 или =7. Числа соответствующие заданным параметрам: 1272; 2172; 2712; 7212
Между 40 и 45 только одно составное число - 42 (2*3*7), чтобы число делилось на 12 - оно должно делиться на 3 и на 4 одновременно, значит последние вде цифры числа должны делится на 4, а сумма чисел должна быть кратна 3.
Такого числа не существует это точно. Док-во: 12*12 = 144 12*12*12 = 1728 (единственное 4-значное) произведение цифр 1*7*2*8 = 112 сумма 1+7+2+8 = 18 12*12*12*12 = 20736 Значит, такого числа нет
1) 1 + 1 + 7 + 6 = 15, делится на 3.
76 = 80 - 4 делится на 4
Значит, 1176 делится на 12.
2) 1 * 1 * 7 * 6 = 42 больше 40, меньше 45, подходит
1*1*7*6=42
2172:12=181
2*7*2*1=28
3912, 9312, 1932, 9132, 1392, 3192
Пошаговое объяснение:
1-шаг. Произведение цифр четырёхзначного числа abcd (a, b, c и d цифры) больше 50 и меньше 55. то есть 51 ≤ a·b·c·d ≤ 54. Тогда все цифры числа положительные.
По условию число кратное 12=3·4. Так как 3 и 4 взаимно простые числа, то четырёхзначное число abcd должна делится на 3 и 4.
2-шаг. Признак делимости на 4: число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
Так как все цифры четырёхзначного числа положительные, то остаётся: число делится на 4, если две последние его цифры образуют число, делящееся на 4. В нашем случае две последние цифры: c и d, c>0 и d>0. Перечислим варианты двузначного числа cd:
12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 88, 92, 96.
3-шаг. По условию 51 ≤ a·b·c·d ≤ 54. Отметим, что так как a·b натуральное число, то двойное неравенство
51/(c·d) ≤ a·b ≤ 54/(c·d)
должен содержат натуральное число! Поэтому среди чисел 51, 52, 53 и 54 хотя бы один должен делится на произведение c·d. Разложим числа :
51 = 1·3·17
52 = 2·2·13
53 - простое число, нет множителей
54 = 2·3·3·3
Теперь проверим произведения цифр чисел:
12 --> 1·2=2 подходит, 16 --> 1·6=6 подходит, 24 --> 2·4=8 не подходит, 28 --> 2·8=16 не подходит, 32 --> 3·2=6 подходит, 36 --> 3·6=18 подходит, 44 --> 4·4=16 не подходит, 48 --> 4·8=32 не подходит, 52 --> 5·2=10 не подходит, 56 --> 5·6=30 не подходит, 64 --> 6·4=24 не подходит, 68 --> 6·8=48 не подходит, 72 --> 7·2=14 не подходит, 76 --> 7·6=42 не подходит, 84 --> 8·4=32 не подходит, 88 --> 8·8=64 не подходит, 92 --> 9·2=18 подходит, 96 --> 9·6=54 подходит.
4-шаг. Признаки делимости на 3: На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
По этому признаку число a+b+c+d должен делится на 3. В зависимости цифр c и d, учитывая a>0 и b>0, перебираем оставшиеся варианты:
12, 16, 32, 36, 92, 96.
1) cd=12, то a+b+1+2 = a+b+3. Число 3 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·1·2 ≤ 54 или 25,5 ≤ a·b ≤ 27. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 3 и 9. Их сумма 3+9=12 делится на 3.
Получим варианты: 3912, 9312.
2) cd=16, то a+b+1+6 = a+b+7. Число 7 при делении на 3 даёт остаток 1, поэтому a+b+1 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·1·6 ≤ 54 или 8,5 ≤ a·b ≤ 9. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 9, 3 и 3. Но сумма 1+9+1=11 не делится на 3 и сумма 3+3+1=7 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.
3) cd=32, то a+b+3+2 = a+b+5. Число 5 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому a+b+2 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·3·2 ≤ 54 или 8,5 ≤ a·b ≤ 9. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 9, 3 и 3. Сумма 1+9+2=12 делится на 3, но сумма 3+3+2=8 не делится на 3.
Получим варианты: 1932, 9132.
4) cd=36, то a+b+3+6 = a+b+9. Число 9 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·3·6 ≤ 54 или 2,8(3) ≤ a·b ≤ 3. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 3. Но их сумма 1+3=4 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.
5) cd=92, то a+b+9+2 = a+b+11. Число 11 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому a+b+2 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·9·2 ≤ 54 или 2,8(3) ≤ a·b ≤ 3. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 3. Сумма 1+3+2=6 делится на 3.
Получим варианты: 1392, 3192.
6) cd=96, то a+b+3+6 = a+b+15. Число 15 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·9·6 ≤ 54 или 0,9(4) ≤ a·b ≤ 1. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 1. Но их сумма 1+1=2 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.
Значит, ответом будут следующие числа:
3912, 9312, 1932, 9132, 1392, 3192.
Если число делится на 12, то оно делится и на 3, и на 4.
Следовательно, можно сделать первый вывод – это число чётное.
По условию произведение цифр числа больше 25, но меньше 30. Между 25 и 30 два чётных числа – 26 и 28. Поэтому произведение цифр может быть равно 26 или 28.
Разложим на множители:
26 = 2∙13.
Тогда одним из множителей произведения цифр четырёхзначного числа должно быть число 13, но наибольшая цифра – 9, поэтому 26 не может быть произведением цифр числа.
Вывод: произведение цифр данного числа равно 28.
Разложим 28 на множители:
28 = 4∙7 = 2∙2∙7
Число четырёхзначное, множителей должно быть четыре:
1∙1∙4∙7
1∙2∙2∙7
Так как данное число делится на 3, то сумма цифр должна делиться на 3:
1 + 1 + 4 + 7 = 13 – не делится на 3.
1 + 2 + 2 + 7 = 12 – делится на 3.
Определили все цифры. Это 1; 2; 2; 7.
Данное число должно делиться на 4, по признаку делимости на 4 оно должно оканчиваться двумя цифрами, которые образуют число, делящееся на 4. Значит, последние две цифры 12 или 72.
Составим варианты таких чисел:
7212; 2712; 1272; 2172.1. число - четное;
2. сумма цифр делится на 3;
3. число, которое образуют последние 2 цифры, делится на 4.
Обозначим искомое четырехзначное число буквами abcd,
a≥1
d - четная цифра
a+b+c+d=3n - делится на 3
10с+d=4m - двузначное число, образованное 2-мя последними цифрами, делится на 4.
По условию: 25<a*b*c*d<30, значит это могут быть только четные числа 26 и 28.
Делители 26: 1; 13; 26 - не подходит.
Делители 28: 1; 2; 4; 7; 14; 28 - подходит,
28=7*2*2*1=7*4*1*1
7+2+2+1=12 =3*4 - подходит
7+4+1+1=13 - не делится на 3 - не подходит.
Значит искомое число состоит из цифр 7;2;2;1.
d=2
c=7 или =1, т.к. 10c+d=4m =>72/4=18; 12/4=3
Если с=7, то b=2 или =1; если с=1, то b=7 или =2,
по тому же принципу, а=1 или =2 или =7.
Числа соответствующие заданным параметрам: 1272; 2172;
2712; 7212
чтобы число делилось на 12 - оно должно делиться на 3 и на 4 одновременно, значит последние вде цифры числа должны делится на 4, а сумма чисел должна быть кратна 3.
ответ: 1176
Известно, что
1) a*b*c*d = 51 -> 1*1*3*17 - не подходит.
2) a*b*c*d = 52 -> 1*2*2*13 - не подходит.
3) a*b*c*d = 53 -> 1*1*1*53 - не подходит.
4) a*b*c*d = 54 -> 1*1*6*9, 1*2*3*9, 2*3*3*3 - подходят.
Итого числа 1169, 1196, 1619, 1691, 1916, 1961, 6119, 6191, 6911, 9116, 9161, 9611; 1239, 1293, 1329, 1392, 1923, 1932, 2139, 2193, 2319, 2391, 2913, 2931, 3129, 3192, 3219, 3291, 3912, 3921, 9123, 9132, 9213, 9231, 9312, 9321; 2333, 3233, 3323, 3332.
Второму условию (деление на 12) удовлетворяет 1392.
Док-во:
12*12 = 144
12*12*12 = 1728 (единственное 4-значное) произведение цифр 1*7*2*8 = 112
сумма 1+7+2+8 = 18
12*12*12*12 = 20736
Значит, такого числа нет
1272÷12=106 кратное 12
1*2*7*2=28 больше 25 и меньше 30